设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（百万元），有如表所示的统计表格．i12345合计xi（百万元）1.261.441.591.711.827.82wi（百万元）2.002.994.025.006.0320.04yi（百万元）3.204.806.507.508.0

Question

设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（百万元），有如表所示的统计表格．

i	1	2	3	4	5	合计
xi（百万元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百万元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百万元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00

.

x

=1.56，

.

w

=4.01，

.

y

=6，

5

i=1

x_iy_i=48.66，

5

i=1

w_iy_i=132.62，

5

i=1

（x_i-

.

x

）²=0.20，

5

i=1

（w_i-

.

w

）²=10.14
表中w_i=x_i³（i=1，2，3，4，5）（以下计算过程中的数据统一保留到小数点后第2位）．

（1）在坐标系中，做出销售额y关于明星代言费x的回归类方程的散点图；
（2）根据散点图指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一个更适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程（不需要说明理由）；
（3）①已知这种产品的纯收益z（百万元）与x、y有如下关系：z=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），试写出z=f（x）的函数关系式；
②试估计当x取何值时，纯收益z取最大值？
附：对于一组具有线性相关关系的数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

.

β

=(ni=1uivi-n.u.v)/(ni=1(ui-.u)2)，

.

α

=

.

v

-

.

β

.

u

．

Answer 1

（1）散点图如下：

（2）根据散点图可知，y=c+dx³，适合销售额y关于明星代言费x的回归方程，
（3）①令ω=x³，则y=c+dω，是y关于ω的线性回归方程，
所以

^d

=(5i=1ωiyi-5.ω.y)/(5i=1(ωi-.ω)2)≈1.21，

^c

=

.

y

-

^d

•

.

ω

≈1.15，
∴线性回归方程：

.

y

=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³，
z=f（x）=0.2y-0.726x，
=0.2（1.15+1.21x³）-0.726x，
=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，
②令z′=0.726x²-0.726≥0，x≥1.00，
故z=f（x）在区间[1.00，2.00]内单调递增，
所以估计当明星的代言费为x=2.00百万时，纯收益z取最大值．