设y=f（x）是第一象限内连接点A（0，1），B（1，0）的一段连续曲线，M（x，y）为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点．若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x36+13

Question

设y=f（x） 是第一象限内连接点A（0，1），B（1，0）的一段连续曲线，M（x，y）为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点．若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为(x3)/(6)+(1)/(3)，求f（x）的表达式．

Answer 1

根据题意，有
(x)/(2)[1+f(x)]+

∫

1 x

f(t)dt＝(x3)/(6)+(1)/(3)．
两边关于x求导，得
(1)/(2)[1+f(x)]+(1)/(2)xf′(x)−f(x)＝(1)/(2)x2．
当x≠0时，得
f′(x)−(1)/(x)f(x)＝(x2−1)/(x)．
此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为f(x)＝e−∫−(1)/(x)dx[∫(x2−1)/(x)e∫−(1)/(x)dxdx+C]
=elnx[∫(x2−1)/(x)e−lnxdx+C]
=x(∫(x2−1)/(x2)dx+C)
=x²+1+Cx．
当x=0时，f（0）=1．
由于x=1时，f（1）=0，
故有2+C=0，从而C=-2．
所以f（x）=x²+1-2x=（x-1）²．