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设集合M={1,2,3,…,n}(n≥3),记M的含有三个元素的子集个数为Sn,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为Tn.(1)求T3S3,T4S4,T5S5,
题目详情
设集合M={1,2,3,…,n}(n≥3),记M的含有三个元素的子集个数为Sn,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为Tn.
(1)求
,
,
,
的值;
(2)猜想
的表达式,并证明之.
(1)求
| T3 |
| S3 |
| T4 |
| S4 |
| T5 |
| S5 |
| T6 |
| S6 |
(2)猜想
| Tn |
| Sn |
▼优质解答
答案和解析
(1)当n=3时,M={1,2,3),S3=1,T3=2,
=2,
当n=4时,M={1,2,3,4),S4=4,T4=2+2+3+3=10,
=
,
=3,
=
(2)猜想
=
.
下用数学归纳法证明之.
证明:①当n=3时,由(1)知猜想成立;
②假设当n=k(k≥3)时,猜想成立,
即
=
,而Sk=Ck3,所以得Tk=
Ck3,
则当n=k+1时,易知Sk+1=Ck+13,
而当集合M从{1,2,3,…,k}变为{1,2,3,…,k,k+1}时,Tk+1在Tk的基础上增加了1个2,2个3,3个4,…,和(k-1)个k,
所以Tk+1=Tk+2×1+3×2+4×3+…+k(k-1),
=
Ck3+2(C22+C32+C42+…+Ck2),
=
Ck3+2(C33+C32+C42+…+Ck2),
=
Ck+13+2Ck+13,
=
Ck+13,
=
Sk+1,
即
=
.
即所以当n=k+1时,猜想也成立.
综上所述,猜想成立.
| T3 |
| S3 |
当n=4时,M={1,2,3,4),S4=4,T4=2+2+3+3=10,
| T4 |
| S4 |
| 5 |
| 2 |
| T5 |
| S5 |
| T6 |
| S6 |
| 7 |
| 2 |
(2)猜想
| Tn |
| Sn |
| n+1 |
| 2 |
下用数学归纳法证明之.
证明:①当n=3时,由(1)知猜想成立;
②假设当n=k(k≥3)时,猜想成立,
即
| Tk |
| Sk |
| k+1 |
| 2 |
| k+1 |
| 2 |
则当n=k+1时,易知Sk+1=Ck+13,
而当集合M从{1,2,3,…,k}变为{1,2,3,…,k,k+1}时,Tk+1在Tk的基础上增加了1个2,2个3,3个4,…,和(k-1)个k,
所以Tk+1=Tk+2×1+3×2+4×3+…+k(k-1),
=
| k+1 |
| 2 |
=
| k+1 |
| 2 |
=
| k-2 |
| 2 |
=
| k+2 |
| 2 |
=
| (k+1)+1 |
| 2 |
即
| Tk+1 |
| Sk+1 |
| (k+1)+1 |
| 2 |
即所以当n=k+1时,猜想也成立.
综上所述,猜想成立.
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