设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn．（1）求T3S3，T4S4，T5S5，

Question

设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求(T3)/(S3)，(T4)/(S4)，(T5)/(S5)，(T6)/(S6)的值；
（2）猜想(Tn)/(Sn)的表达式，并证明之．

Answer 1

（1）当n=3时，M={1，2，3），S₃=1，T₃=2，(T3)/(S3)=2，
当n=4时，M={1，2，3，4），S₄=4，T₄=2+2+3+3=10，(T4)/(S4)=(5)/(2)，
(T5)/(S5)=3，(T6)/(S6)=(7)/(2)
（2）猜想(Tn)/(Sn)=(n+1)/(2)．
下用数学归纳法证明之．
证明：①当n=3时，由（1）知猜想成立；
②假设当n=k（k≥3）时，猜想成立，
即(Tk)/(Sk)=(k+1)/(2)，而S_k=C_k³，所以得T_k=(k+1)/(2)C_k³，
则当n=k+1时，易知S_k+1=C_k+1³，
而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k+1}时，T_k+1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和（k-1）个k，
所以T_k+1=T_k+2×1+3×2+4×3+…+k（k-1），
=(k+1)/(2)C_k³+2（C₂²+C₃²+C₄²+…+C_k²），
=(k+1)/(2)C_k³+2（C₃³+C₃²+C₄²+…+C_k²），
=(k-2)/(2)C_k+1³+2C_k+1³，
=(k+2)/(2)C_k+1³，
=((k+1)+1)/(2)S_k+1，
即(Tk+1)/(Sk+1)=((k+1)+1)/(2)．
即所以当n=k+1时，猜想也成立．
综上所述，猜想成立．