在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=32c，则ab的最小值为．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=(√(3))/(2)c，则ab的最小值为 ___ ．

Answer 1

在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=-(1)/(2)，C=(2π)/(3)．
由于△ABC的面积为S=(1)/(2)ab•sinC=(√(3))/(4)ab=(√(3))/(2)c，∴c=(1)/(2)ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，整理可得(1)/(4)a²b²=a²+b²+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，
故答案为：12．