如图,一个含45度角的三角板HBE的两条直角边于正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF垂直于AE交角DCE的角平分线于F点,探究AE与EF的数量关系,

Question

如图,一个含45度角的三角板HBE的两条直角边于正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF垂直于AE交角DCE的角平分
线于F点,探究AE与EF的数量关系,

Answer 1

1）证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA；
（2）答：AE=EF．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°,
又∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°,
又∵∠DAE=∠BEA（已证）,
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF,
又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形,
∴BH=BE,∠H=45°,HA=BH-BA=BE-BC=EC,
又∵CF平分∠DCE,
∴∠FCE=45°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠EHA=45°,∠DCE=90°,CF平分∠DCE,
∴∠FCE=
1
2
×90°=45°=∠EHA,
在△HAE和△CEF中
∠EHA=∠FCEAH=EC∠HAE=∠CEF
∴△HAE≌△CEF（ASA）,
∴AE=EF．