已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．（1）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，求证：DE⊥BF；（2）如图②，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE∥BF．

Question

已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，求证：DE⊥BF；
（2）如图②，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE∥BF．

Answer 1

（1）DE⊥BF．
延长DE交BF于G，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，
∴∠CDE=(1)/(2)∠ADC，∠EBF=(1)/(2)∠CBM，
∴∠CDE=∠EBF．
∵∠DEC=∠BEG，
∴∠EGB=∠C=90゜，
∴DE⊥BF．

（2）DE∥BF，
连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠NDC+∠MBC=180゜，
∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠EDC+∠CBF=90゜，
∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，
∴DE∥BF．