当x趋近于1时,求(x^2-x+1)/(x-1)^2的极限

Question

当x趋近于1时,求(x^2-x+1)/(x-1)^2的极限

Answer 1

(x^2-x+1)/(x-1)^2
= (x^2-2x+1+x) / (x-1)^2
=[(x-1)^2+x] / (x-1)^2
=1 + x / (x-1)^2
当x—>1时,
（x-1）^2---> 0
由于（x-1）^2≥0恒成立,
所以,（x-1）^2是正向趋近于0
写作（x-1）^2---> 0+
所以, x / (x-1)^2 --->+∞
1+ x / (x-1)^2 --->+∞
所以,当x趋近于1时,
(x^2-x+1)/(x-1)^2的极限是 正无穷 .
PS：这里(x-1)^2一定是≥0的不存在负数的情况
当x趋近于1时,无论是左趋近于1（即x＜1,并且x无限接近1）还是右趋近于1（即x＞1,并且x无限接近1）,(x-1)^2只能正向趋近于0
得到x / (x-1)^2只能趋近于正无穷.
但如果把x / (x-1)^2改成x / (x-1),则结果会变.
当x左趋近于1（即x＜1,并且x无限接近1）时,
x-1无限接近于0,但永远有 x-1＜0
这时,x / (x-1)则无限趋近于负无穷大.
当x右趋近于1（即x＞1,并且x无限接近1）时
x-1无限接近于0,但永远有 x-1＞0
这时,x / (x-1)则无限趋近于正无穷大.
所以：
当x--->1+ 时 ,x / (x-1) ---> +∞
当x--->1-时,x / (x-1) ---> -∞
而无论x左趋近还是右趋近于1,x / (x-1) ^2---> +∞