已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．

Question

已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（　　）

A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④

Answer 1

①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，

BD＝BC

∠ABD＝∠CBD

BE＝BA

，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°           …②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC．…③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，
∵在RT△BEG和RT△BEF中，

BE＝BE

EF＝EG

，
∴RT△BEG≌RT△BEF（HL），
∴BG=BF，
∵在RT△CEG和RT△AFE中，

EF＝EG

AE＝CE

，
∴RT△CEG≌RT△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF．…④正确．
故选D．