正方形ABCD的对角线交于点O，过顶点D作AC的平行线，在这条线上取一点E，连接AE，CE，使AE=AC，AE交CD于F．则下列结论：①CE=CF；②∠ACE=75°；③△DFE是等腰三角形；④若AB=1，则CE=3−1；⑤S△DFE

Question

正方形ABCD的对角线交于点O，过顶点D作AC的平行线，在这条线上取一点E，连接AE，CE，使AE=AC，AE交CD于F．则下列结论：
①CE=CF；②∠ACE=75°；③△DFE是等腰三角形；④若AB=1，则CE=√(3)−1；⑤(S△DFE)/(S△CFA)＝(2−√(3))/(2)
正确的个数是（　　）

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

如图，过点E作EG⊥AC于G，
∵正方形的对角线AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∴四边形ODEG是矩形，
∴GE=OD，
∵AE=AC，AC=2•OD，
∴∠CAE=30°，
在△ACF中，∠CFE=∠CAE+∠ACD=30°+45°=75°，
在等腰△ACE中，∠ACE=∠AEC=(1)/(2)（180°-30°）=75°，故②正确，
∴∠AEC=∠CFE，
∴CE=CF，故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠ACF=45°，∠DEF=∠CAE=30°，
∴△DFE不可能是等腰三角形，故③错误；
∵AB=1，
∴AE=AC=√(2)AB=√(2)，
在Rt△AEG中，GE=(1)/(2)AE=(1)/(2)×√(2)=(√(2))/(2)，
AG=√(AE2−GE2)=√(√(2)2−((√(2))/(2))2)=(√(6))/(2)，
∴CG=AC-AG=√(2)-(√(6))/(2)，
在Rt△CEG中，CE=√(GE2+CG2)=√(((√(2))/(2))2+(√(2)−(√(6))/(2))2)=√(4−2√(3))=√((√(3)−1)2)=√(3)-1，故④正确；
∵FC=EC=√(3)-1，
∴DF=CD-FC=1-（√(3)-1）=2-√(3)，
∵DE∥AC，
∴△DFE∽△CFA，
∴(S△DFE)/(S△CFA)=（(DF)/(FC)）²=（(2−√(3))/(√(3)−1)）²=(2−√(3))/(2)，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②④⑤共4个．
故选C．