设D是等腰直角△ABC底边BC的中点,过CD两点,但不过A点任作一圆,交AC于E,连BE交此圆于F,证明,AF垂直于BE

Question

设D是等腰直角△ABC底边BC的中点,过C D两点,但不过A点任作一圆,交AC于E,连BE交此圆于F,证明,AF垂直于BE

Answer 1

本题主要用到的结论是：一个四边形对角互补,则回个顶点共一个圆；反之也是这样：即如果四个顶点共圆,则这个四边形对角互补,下面是证法：
∵DFEC四点共圆
∴∠C＋∠DFE＝180°,而∠C＝45°
故∠DFE＝135°
∠BFD＝45°
又∵∠BAD＝45°
故∠BAD＝∠BFD
故A,B,D,F四点共圆（这个结论应该知道吧）
∴∠ADB＝∠AFB＝90°
即AF⊥BE