设两个向量a与b不共线试证:起点相同的三个向量a,b,3a-2b的终点在同一条直线上(a不等于b)

Question

设两个向量a与 b不共线
试证:起点相同的三个向量a,b ,3a-2b的终点在同一条直线上(a不等于b)

Answer 1

设向量a,b,3a-2b的终点分别为A,B,C,起点都是O.
向量AB=OB-OA=b-a,
向量AC=OC-OA=3a-2b-a=2(b-a),
显然有向量AC=2*向量AB
所以向量AC与向量AB共线
即三点A,B,C共线
∴起点相同的三个向量a,b ,3a-2b的终点在同一条直线上
【另法】
设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2)
那么c=3a-2b=(3a1-2b1,3a2-2b2)
我们想证明a、b、c的终点共线.
由于a-b=(a1-b1,a2-b2)
c-b=(3a1-3b1,3a2-3b2)
所以c-b=3(a-b)
因此a、b、c的终点共线.