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(2008•石景山区二模)已知:如图①,△ABC为边长为2的等边三角形,D、E、F分别为AB、AC、BC中点,连接DE、DF、EF.将△BDF向右平移,使点B与点C重合;将△ADE向下平移,使点A与点C重合,如
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(2008•石景山区二模)已知:如图①,△ABC为边长为2的等边三角形,D、E、F分别为AB、AC、BC中点,连接DE、DF、EF.将△BDF向右平移,使点B与点C重合;将△ADE向下平移,使点A与点C重合,如图②.
(1)设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S1、S2、S3,则S1+S2+S3______
(用“<、=、>”填空)
(2)已知:如图③,∠AOB=∠COD=∠EOF=60°,AD=CF=BE=2,设△ABO、△FEO、△CDO的面积分别为S1、S2、S3;问:上述结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(可利用图④进行探究)
(1)设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S1、S2、S3,则S1+S2+S3______
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(2)已知:如图③,∠AOB=∠COD=∠EOF=60°,AD=CF=BE=2,设△ABO、△FEO、△CDO的面积分别为S1、S2、S3;问:上述结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(可利用图④进行探究)
▼优质解答
答案和解析
(1)S1+S2+S3<
(2分)
(2)结论成立(3分)
证明一:延长OB到H使BH=OE
延长OA到G使AG=OD
连接HG(4分)
∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GHO是等边三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S△GHO=
(5分)
在HG上取点M,使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
∴HM=OF
在△MGA和△COD中,
∴△MGA≌△COD
同理可证:△MHB≌△FOE(6分)
∴S2=S△MHB,S3=S△MGA
由图形可知:S△ABO+S△MHB+S△MGA<S△GHO,
∴S1+S2+S3<S△GHO=
即S1+S2+S3<
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(2)结论成立(3分)
证明一:延长OB到H使BH=OE
延长OA到G使AG=OD
连接HG(4分)
∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GHO是等边三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S△GHO=
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在HG上取点M,使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
∴HM=OF
在△MGA和△COD中,
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∴△MGA≌△COD
同理可证:△MHB≌△FOE(6分)
∴S2=S△MHB,S3=S△MGA
由图形可知:S△ABO+S△MHB+S△MGA<S△GHO,
∴S1+S2+S3<S△GHO=
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即S1+S2+S3<
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