若limf存在,limg不存在,则lim（g/f）是否一定不存在?若果你要用反反证法应该保证f(a)≠0,我很纠结啊…其中limf表示x趋于a的极限,另一个一样的

Question

若limf存在,limg不存在,则lim（g/f）是否一定不存在?若果你要用反反证法应该保证f(a)≠0,我很纠结啊…
其中limf表示x趋于a的极限,另一个一样的

Answer 1

反证法,令 h(x)=g(x)/f(x) 极限存在
则 g(x)=f(x)h(x)
即 lim g(x) = lim f(x)h(x) = lim f(x) · lim h(x)
左边由题设,lim g(x)不存在
右边是两个有极限都存在,所以右边极限存在.
于是矛盾
所以,lim（g/f）是否一定不存在