如图，已知直线l与O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径r的取值范围是：．

Question

如图，已知直线l与 O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与 O相交于点P，AB与 O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若 O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径r的取值范围是：___．

Answer 1

连接OB．如图1，
∵AB切 O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC，
作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2，
∴OE=(1)/(2)AC=(1)/(2)AB=(1)/(2)√(102-r2)，
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE=(1)/(2)√(102-r2)≤r，
∴√(102-r2)≤2r，
即：100-r²≤4r²，
∴r²≥20，
∴r≥2√(5)．
∵OA=10，直线l与 O相离，
∴r<10，
∴2√(5)≤r<10．
故答案为：2√(5)≤r<10．