先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分（x+y）2+2（x+y）+1．将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题候总用到的是“整体

Question

先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分 （x+y）²+2（x+y）+1．
将“x+y”看成整体，令x+y=A，则
原式=A²+2A+1=（A+1）²
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）²．
上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分 1+2（x-y）+（x-y）²=___．
（2）因式分 （a+b）（a+b-4）+4
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．

Answer 1

（1）1+2（x-y）+（x-y）²
=（x-y+1）²；

（2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A²-4A+4=（A-2）²，
故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）²；

（3）（n+1）（n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²，
∵n为正整数，
∴n²+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．