问a，b取何值时，向量β=（1，2，b）T可由向量组α1=（1，1，2）T，α2=（2，3，3）T，α3=（3，6，a）T（1）唯一的线性表示；（2）无穷多的线性表示；（3）不能线性表示．

Question

问a，b取何值时，向量β=（1，2，b）^T可由向量组α₁=（1，1，2）^T，α₂=（2，3，3）^T，α₃=（3，6，a）^T（1）唯一的线性表示；
（2）无穷多的线性表示；
（3）不能线性表示．

Answer 1

设有数k₁，k₂，k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=β．（*）
记A=（α₁，α₂，α₃）．对矩阵（A，β）施以初等行变换，有
（A，β）=

1	2	3	1
1	3	6	2
2	3	a	b

1	2	3	1
0	1	3	1
0	−1	a−6	b−2

1	2	3	1
0	1	3	1
0	0	a−3	b−1

∴（1）当a-3≠0，b-1≠0时，即a≠3，b≠1，此时r（A）=r（A，β）=3，方程组（*）有唯一解，
∴β能由α₁，α₂，α₃唯一线性表示．
（2）当a-3=0，b-1=0时，即a=3，b=1，此时r（A）=r（A，β）=2＜3，方程组（*）有无穷多解，
∴β能由α₁，α₂，α₃线性表示，且表示法不唯一．
（3）当a-3=0，b-1≠0时，即a=3，b≠1，此时r（A）≠r（A，β），方程组（*）无解，
∴β不能由α₁，α₂，α₃线性表示．