等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．（Ⅰ）求r的值．（Ⅱ）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈N+），证明：对任意的n

Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）当b=2时，记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺），证明：对任意的n∈N+，不等式成立(b1+1)/(b1)•(b2+1)/(b2)•…(bn+1)/(bn)＞√(n+1)．

Answer 1

（1）因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），
均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
所以得S_n=bⁿ+r，当n=1时，a₁=S₁=b+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以r=-1，公比为b，a_n=（b-1）b^n-1
（2）当b=2时，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
则(bn+1)/(bn)＝(2n+1)/(2n)，
所以(b1+1)/(b1)•(b2+1)/(b2)…(bn+1)/(bn)＝(3)/(2)•(5)/(4)•(7)/(6)…(2n+1)/(2n)
下面用数学归纳法证明不等式(b1+1)/(b1)•(b2+1)/(b2)…(bn+1)/(bn)＝(3)/(2)•(5)/(4)•(7)/(6)…(2n+1)/(2n)＞√(n+1)成立．
当n=1时，左边=(3)/(2)，右边=√(2)，
因为(3)/(2)＞√(2)，所以不等式成立．
假设当n=k时不等式成立，
即(b1+1)/(b1)•(b2+1)/(b2)…(bn+1)/(bn)＝(3)/(2)•(5)/(4)•(7)/(6)…(2k+1)/(2k)＞√(k+1)成立
则当n=k+1时，
左边=(b1+1)/(b1)•(b2+1)/(b2)…(bk+1)/(bk)•(bk+1+1)/(bk+1)＝(3)/(2)•(5)/(4)•(7)/(6)…(2k+1)/(2k)•(2k+3)/(2k+2)＞√(k+1)•(2k+3)/(2k+2)＝√(((2k+3)2)/(4(k+1)))＝√((4(k+1)2+4(k+1)+1)/(4(k+1)))＝√((k+1)+1+(1)/(4(k+1)))＞√((k+1)+1)
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．