设函数在上满足,且在闭区间[0,7]上只有.⑴试判断函数的奇偶性;⑵试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论.

Question

设函数 在 上满足 , 且在闭区间[0, 7]上只有 .
⑴试判断函数 的奇偶性;
⑵试求方程 在闭区间 上的根的个数, 并证明你的结论.

Answer 1

设函数 在 上满足 , 且在闭区间[0, 7]上只有 .
⑴试判断函数 的奇偶性;
⑵试求方程 在闭区间 上的根的个数, 并证明你的结论.

（1） 为非奇非偶函数（2）方程 在 上共有802个根

⑴由
∵在 上只有  
∴   ∴
故 为非奇非偶函数。                         
⑵由  得

∴ 是以10为周期的函数. 又
∴
∴ 在[0, 10]和 上各有2个根.
从而方程在 上有800个根, 而 上没有根,
在[2000, 2005]上有2个根.
故方程 在 上共有802个根.