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设函数在上满足,且在闭区间[0,7]上只有.⑴试判断函数的奇偶性;⑵试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论.

题目详情
设函数 上满足 , 且在闭区间[0, 7]上只有 .
⑴试判断函数 的奇偶性;
⑵试求方程 在闭区间 上的根的个数, 并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
设函数 上满足 , 且在闭区间[0, 7]上只有 .
⑴试判断函数 的奇偶性;
⑵试求方程 在闭区间 上的根的个数, 并证明你的结论.
(1) 为非奇非偶函数(2)方程 上共有802个根

⑴由
∵在 上只有  
  ∴
为非奇非偶函数。                         
⑵由  得

是以10为周期的函数. 又

在[0, 10]和 上各有2个根.
从而方程在 上有800个根, 而 上没有根,
在[2000, 2005]上有2个根.
故方程 上共有802个根.