已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点F1和右焦点F2，上顶点为A，AF2的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，则椭圆离心率为．

Question

已知椭圆 (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1（a>b>0）的左焦点F₁和右焦点F₂，上顶点为A，AF₂的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F₁在线段AB上，则椭圆离心率为___．

Answer 1

设|BF₂|=t，由椭圆的定义可得|BF₁|=2a-t，
由B为AF₂的中垂线上一点，可得|AB|=|BF₂|=t，
即有|AF₁|=2t-2a，
又|AF₁|=√(b2+c2)=a，
解得t=(3a)/(2)，
即有|AF₂|=|AF₁|=a，|BF₁|=(a)/(2)，|BF₂|=(3a)/(2)，|F₁F₂|=2c，
在△AF₁F₂中，cos∠AF₁F₂=(c)/(a)，
可得cos∠BF₁F₂=-cos∠AF₁F₂=-(c)/(a)，
由余弦定理，可得cos∠BF₁F₂=((a2)/(4)+4c2-(9a2)/(4))/(2•(a)/(2)•2c)=(2c)/(a)-(a)/(c)，
即有(2c)/(a)-(a)/(c)=-(c)/(a)，即为a²=3c²，
可得e=(c)/(a)=(√(3))/(3)．
故答案为：(√(3))/(3)．