已知正六棱柱最长的一条对角线为13厘米,侧面积为180平方厘米,求这个棱柱的体积.

Question

已知正六棱柱最长的一条对角线为13厘米,侧面积为180平方厘米,求这个棱柱的体积 .

Answer 1

设底正六边形边长为a,正六边形最长对角线为2a,它是正六棱柱最长对角线在底面的射影,
设高为h,
侧面积S=6ah=180,
h=30/a,(1)
根据勾股定理,(2a)^2+h^2=13^2,(2)
由（1）式代入（2）式,
4a^2+900/a^2=169,
4a^4-169a^2+900=0,
(a^2-36)(4a^2-25)=0,
a=6,或a=5/2,
V=6*√3*a^2/4*h=45√3a,
V=270√3cm^3,
或V=225√3/2(cm^3).
1、当正六边形对角线是12cm,高5cm时,体积270√3cm^3.
2、当正六边形对角线是5,高12时,体积225√3/2(cm^3).