（2003•盐城）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转n°（0＜n＜90），得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E．（1）求证：B1E=DE；（2）简要说明四边形AB1ED存在一个内切圆；（3）若n=30（度），AB=3，求四

Question

（2003•盐城）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转n°（0＜n＜90），得正方形AB₁C₁D₁，B₁C₁交CD于点E．
（1）求证：B₁E=DE；
（2）简要说明四边形AB₁ED存在一个内切圆；
（3）若n=30（度），AB=√(3)，求四边形AB₁ED内切圆的半径r．

Answer 1

（1）连接AE，
由旋转的性质可知在AD=AB₁，
Rt△AED与Rt△AEB₁中，AE=AE，AD=AB₁，
∴Rt△AED≌Rt△AEB₁，
故B₁E=DE．

（2）由（1）可知，Rt△AED≌Rt△AEB₁，
∴EB₁+AD=ED+AB₁，
故四边形AB₁ED存在一个内切圆．

（3）作∠DAF与∠AB₁G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB₁，
则∠OAF=n=30°，∠AB₁O=45°，
故B₁F=OF=(1)/(2)OA，
设B₁F=x，则AF=√(3)-x，
故（√(3)-x）²+x²=（2x）²，
解得x=(−√(3)+3)/(2)或x=(−√(3)−3)/(2)（舍去）．