如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），连结AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F（1）求证：AE=AF；（2）连结EF，M为EF的中点，连结BM，求BMCE的值；（3）

Question

如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），连结AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F
（1）求证：AE=AF；
（2）连结EF，M为EF的中点，连结BM，求 (BM)/(CE)的值；
（3）图2中，以BF为边作正方形BFHG，AF与CG相交于P点，当点E在边CD上运动时（不与C、D重合），请直接写出∠APD=___度．

Answer 1

（1）如图1∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
∴∠ABF=90°，
∵∠FAE=90°，∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，
即；∠FAB=∠EAD，
在△ABF与△DAE中，

∠ABF=DAE

AB=AD

∠ABF=∠D

，
△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF=AE；

（2）如图1取FC得中点N，连接MN，AM，
∵点M是FE的中点，
∴CE=2MN，
∵∠AKM=∠FKB，∠AMF=∠MNB=90°，
∴△AKM∽△BKF，
∴(AK)/(FK)=(KM)/(BK)，∵∠AKB∠=MKB，
∴△AFK∽△BKF，
∴∠KBM=∠AFK=45°，
∴∠MBN=45°，∴BM=√(2)MN，
∴(BM)/(CE)=(√(2))/(2)；

（3）如图2过点D作DQ⊥PD交PC的延长线于Q，
∵四边形BFHG是正方形，
∴BG=BF，
在△ABF与△CBG中，

AB=BC

∠ABF=∠ABC

BF=BG

，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴∠FAB=∠BCG，
∵∠AGP=∠CGB，
∴∠APG=∠ABC=90°，
∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠QDC，
∵AB∥CD，∴∠DCQ=∠AGC，∴∠PAG+∠BAD=∠PAG+∠APG，
即∠PAD=∠AGC=∠DCQ，
在△PAD与△DCQ中，

∠PAD=∠QCD

AD=CD

∠ADP=∠QDC

∴△PAD≌△QCD（ASA），
∴PD=DQ，
∴∠DPQ=45°，
∴∠APD=45°．
故答案：45°．