已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且AM=AN，过A作BM的垂线，垂足为P，求证：∠APN=∠BNC．

Question

已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且AM=AN，过A作BM的垂线，垂足为P，求证：∠APN=∠BNC．

Answer 1

证明：延长AP交DC于E，连接NE，
∵AP⊥BM，
∴∠APB=∠BPE=∠APM=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BPE+∠BCD=180°，
∴P、B、C、E四点共圆，
而∠PAM+∠AMP=90°，∠AMP+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠PAM=∠EAD，
∴△ABM≌△DAE，
∴DE=AM=AN，
∴CE=BN，
∴四边形NBCE是矩形，
∴N、B、C、E四点共圆，
即N、B、C、E、P五点共圆，
∴∠NPB=∠NCB，
∵∠APN+∠BPN=90°，∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠APN=∠BNC．