AB两人轮流射击每次每人射击一枪射击的次序是abababab.直至击中两抢为止设两人命中率为p,求两枪是同一个人击中的概率.这是大学概率题我算了好像得用到极限和可是极限和太复杂不会

Question

A B两人轮流射击 每次每人射击一枪 射击的次序是abababab.直至击中两抢为止 设两人命中率为p,
求两枪是同一个人击中的概率.这是大学概率题 我算了 好像得用到极限和 可是极限和太复杂不会求

Answer 1

设A1表示命中的两枪为A,A2表示命中的两枪为B,q=1-p
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=P(A1)+P(A2)
而P(A1)=P^2*q+C(2,1)P^2*q^3+C(3,1)P^2*q^5+...
=p^2*q(1+2q^2+3q^4+4q^6+...)
P(A2)=p^2*q^2+C(2,1)p^2*q^4+C(3,1)p^2*q^6+...
=p^2*q^2(1+2q^2+3q^4+4q^6+...)
由x/(1-x)=x+x^2+x^3+x^4+...(|x|<1)
得1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+...(|x|<1)
令x=q^2得：1/(1-q^2)^2=1+2q^2+3q^4+4q^6+...(|q|<1)
故P(A1+A2)=p^2*q*1/(1-q^2)^2+p^2*q^2*1/(1-q^2)^2
=p^2*q(1+q)/[(1-q)^2*(1+q)^2]=q/(1+q)=(1-p)/(2-p)