证明：任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段

Question

证明：任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段

Answer 1

1.斜率不不存在时显然成立
2.直线y=kx+m 双曲线(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1交双曲线渐近线从左依次A,C,D,B
求证AC=BD
双曲线和渐近线方程都可表示成：(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=n（n=0或1）
联立直线消y
（b^2-a^2k^2）x^2-2kma^2x-（a^2+na^2b^2）=0
方程有实根是x1；x2
x1+x2=2kma^2/（b^2-a^2k^2） （x1+x2）/2=kma^2/（b^2-a^2k^2）
所以直线y=kx+m与双曲线和渐近线方程都可表示成：(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=n交点的横坐标相同
即与n无关,所以AB和CD中点重合,即AC=BD