曲线积分题,被积函数是y的绝对值,积分曲线是双纽线(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2),请问怎么算……

Question

曲线积分题,被积函数是y的绝对值,积分曲线是双纽线(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2),请问怎么算……

Answer 1

本题要用极坐标,需要知道双纽线的图形,见下图：



曲线关于两坐标轴均对称,且|y|关于x和y均为偶函数,因此用两次奇偶对称性可得：原积分=4∫ y ds 积分曲线为图中第一象限部分.下面写出双纽线的极坐标方程,r⁴=2a²(r²cos²θ-r²sin²θ),整理得：r²=2a²cos2θ,θ：0--->π/4计算r'(θ)：r²=2a²cos2θ两边对θ求导得2rr'=-4a²sin2θ,因此：r'=-(2a²sin2θ)/r则：(r')²=(2a²sin2θ)²/r²=(2a²sin2θ)²/2a²cos2θ=2a²sin²2θ/cos2θ计算ds=√[r²+(r')²]dθ=√[2a²cos2θ+2a²sin²2θ/cos2θ]dθ=(√2a)*√(sec2θ)dθ因此原积分=4∫ y ds=4(√2a)∫[0--->π/4] rsinθ√(sec2θ)dθ由r²=2a²cos2θ得：r=(√2a)√(cos2θ),代入上式=8a²∫[0--->π/4] sinθdθ=-8a²cosθ |[0--->π/4]=8a²(1-√2/2)=4a²(2-√2)