有若干电阻组成如图所示的电路,其中AB两点的接地电阻是固定不动的,输入电压U1,U2,……,Un仅取1V或0V两个值,OV表示接地.（1）当n=3时,B点的输出电压有几个可能的值?（2）当n→∞时,B点的最大

Question

有若干电阻组成如图所示的电路,其中AB两点的接地电阻是固定不动的,输入电压U1,U2,……,Un仅取1V或0V两个值,OV表示接地.
（1）当n=3时,B点的输出电压有几个可能的值?
（2）当n→∞时,B点的最大输出电压为多少?
第一个问中已知三个输入电压如何求B的输出电压?

Answer 1

这题应该用“叠加原理”解答.
先令输入电压全取0V,观察电路特点.考虑2点以左的等效电阻,由于上面的2欧和下面的2欧都接地,并联为1欧,再与1和2间的1欧串联,等效电阻为2欧.这样一来新的电路与原来的结构相同,只是少了一个输入端,只有n-1个.依此类推,继续向右等效,可知任意一个节点n的左侧的等效电阻都是2欧.同理,右侧的等效电阻也可一样的求得,也是2欧.
1.
考虑U1、U2、U3中一端接1V而其余各端接0V（地）的情况.
U1=1V,U2=U3=0V时,由上分析,1点以右电阻为2欧,和最左的2欧并联后为1欧,因此1点电压为V1=1/(1+2)*1=1/3.又2点以右电阻为2欧,和U2-2间的2欧并联为1欧,因此2点电压为1/(1+1)*V1=1/(2*3).又3点以右电阻为2欧,和U3-3间的2欧并联为1欧,因此3点（B点）电压为1/(1+1)*V2=1/(2*2*3)=1/12.
U2=1V,U1=U3=0V时,先将2左侧的电阻等效为2欧,这样相当于第一种情况中求2点的电压,因此3点（B点）电压为1/(2*3)=1/6.
U3=1V,U1=U2=0V时,先将3左侧的电阻等效为2欧,这样相当于第一种情况中求1点的电压,因此3点（B点）电压为1/3=1/3.
因此,由叠加原理,1/12,1/6,1/3可能的组合有
0,1/12,1/6,1/3,1/4,5/12,1/2,7/12
2.
对于n的情况,同上分析,可知：
仅U1=1时UB=1/[3*2^(n-1)],仅U2=1时UB=1/[3*2^(n-2)],仅U3=1时UB=1/[3*2^(n-3)]……仅Un=1时UB=1/3.因此,当n→∞时,B点的最大输出电压为U1～Un全为1时,即
UB=1/3+1/6+1/12+……1/[3*2^(n-1)]+……
=1/3*[1+1/2+1/4+……+1/2^(n-1)+……]
=1/3*1/(1-1/2)
=2/3