无限纯循环小数化为分数,分母的每一位数都是9,为什么?（证明过程或推导过程）例如：0.142857142857…=142857/999999,0.11…=1/9无限纯循环小数化为分数以后,分母的数位总是和循环节的数位一样,而

Question

无限纯循环小数化为分数,分母的每一位数都是9,为什么?（证明过程或推导过程）
例如：0.142857142857…=142857/999999,0.11…=1/9
无限纯循环小数化为分数以后,分母的数位总是和循环节的数位一样,而且每一位数字一定是9（约分以后不满足以上说法,但是暂时忽略不计）.
这是为什么呢?
就把推理过程写下来吧.

Answer 1

这涉及到数列的知识,不知道你学过没有
设循环位数为k,到第一个循环为止的值a
例如：对0.142857142857…,有k=6,a=0.142857
则无限循环小数可以写成以下数列所有项的和
首项a1=a,公比q=10^(-k)的等比数列
例如：0.142857142857…=0.142857+0.000000142857+...
有公式可以计算出公比绝对值小于1的等比数列所有项的和S
S=a1/(1-q)=a/[1-10^(-k)]=a*10^k/(10^k-1)
例如：0.142857142857…=0.142857*1000000/(1000000-1)=142857/999999
不知道看明白没有
想到一个更简单的说明方法
设X=0.142857142857… (1)式
两边同时乘以1000000,得
1000000X=142857.142857142857… (2)式
用(2)式-(1)式,得
1000000X-X=(142857.142857142857…)-(0.142857142857…)
即
999999X=142857
所以
X=142857/999999