在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,内取一点P,且AP=AC=a,BP=CP=b(b＜a）,则(a2+b2)/(a2-b2)

Question

在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,内取一点P,且AP=AC=a,BP=CP=b(b＜a）,则(a2+b2)/(a2-b2)

Answer 1

^2是平方
过P分别作PD⊥AC于D、PE⊥BC于E
由于BP=CP,所以△BCP是等腰三角形,而PE是底边BC上的高
则PE是BC中线,所以CE=BC/2=AC/2=a/2
由∠CEP=∠CDP=∠DCE=90°得四边形CDPE是矩形,则DP=CE=a/2
在Rt△ADP中,∠ADP=90°,则AD=√(AP^2-DP^2)=√(a^2-(a/2)^2)=√3a/2
在Rt△CDP中,∠CDP=90°,所以有CD^2+DP^2=CP^2
而CD=AC-AD=a-√3a/2=(1-√3/2)a,DP=a/2,CP=b
所以((1-√3/2)a)^2+(a/2)^2=b^2,即b^2=(2-√3)a^2

则(a^2+b^2)/(a^2-b^2)=(a^2+(2-√3)a^2)/(a^2-(2-√3)a^2)=(1+(2-√3))/(1-(2-√3))=√3
即原式=√3