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如图,在三角形ABC中,AB是圆O的直径,AC切圆O于点A,BC交于点P,Q为AC边中点,求证PQ切圆O于点PA
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如图,在三角形ABC中,AB是圆O的直径,AC切圆O于点A,BC交于点P,Q为AC边中点,求证PQ切圆O于点PA
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答案和解析
连结OP、OQ,
∵AQ=QC,AO=OB,
∴QO∥BC,
∴∠AOQ=∠B,∠POQ=∠OPB,
又∵∠B=∠OPB,
∴∠AOQ=∠POQ,
又∵OA=OP,OQ=OQ,
∴△AOQ≌△POQ,
∴∠QAO=∠QPO,
∵CA切圆O于A,
∴∠QAO=90°,
∴∠QPO=90°,
∴PQ切圆O于P
∵AQ=QC,AO=OB,
∴QO∥BC,
∴∠AOQ=∠B,∠POQ=∠OPB,
又∵∠B=∠OPB,
∴∠AOQ=∠POQ,
又∵OA=OP,OQ=OQ,
∴△AOQ≌△POQ,
∴∠QAO=∠QPO,
∵CA切圆O于A,
∴∠QAO=90°,
∴∠QPO=90°,
∴PQ切圆O于P
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