（2014•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动

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（2014•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

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答案和解析

（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

则AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=

AC2+BC2

=5cm．
∵AD=AF=AC-FC=4-r，BD=BE=BC-EC=3-r，
∴4-r+3-r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．

（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂足为G．

∵∠PGB=∠C=90°，
∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，
∴

＝

．
∵BP=t，
∴PG=

×BP=

t，BG=

×BP=

t．
若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．
①当⊙P与⊙O外切时，

如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，
∴四边形PHEG是矩形，
∴HE=PG，PH=GE，
∴OH=OE-HE=1-

t，PH=GE=BC-EC-BG=3-1-

t=2-

t．
在Rt△OPH中，
由勾股定理，(1−

t)2+(2−

t)2＝(1+t)2，
解得 t=

．

②当⊙P与⊙O内切时，

如图4，连接OP，则OP=t-1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，
∴四边形OEGM是矩形，
∴MG=OE，OM=EG，
∴PM=PG-MG=

t−1，
OM=EG=BC-EC-BG=3-1-

t=2-

t，
在Rt△OPM中，
由勾股定理，(

t−1)2+(2−

t)2＝(t−1)2，
解得 t=2．
综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=