一个正四棱锥的内切球半径为1，则此正四棱锥体积的最小值为．

Question

一个正四棱锥的内切球半径为1，则此正四棱锥体积的最小值为___．

Answer 1

设正四棱锥的高为h，底边长为2a，则斜高为√(a2+h2)，
∵正四棱锥的内切球半径为1，
∴由△POG∽△PFE可得(1)/(h-1)=(a)/(√(a2+h2))，
∴a²=(h2)/(h2-2h)
∴正四棱锥体积V=(1)/(3)×4a2h=(4)/(3)×(h3)/(h2-2h)，
V′=(h3(h-4))/((h2-2h)2)，
∴0<h<4时，V′<0；h>4时，V′>0，
∴h=4时，正四棱锥体积取得最小值，最小值为(32)/(3)．
故答案为：(32)/(3)．