如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）如果BE=185，sin∠BAM=35，求⊙O的半径．

Question

如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．

（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）如果BE=(18)/(5)，sin∠BAM=(3)/(5)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）如图，连接OM．
∵直线CD切⊙O于点M．
∴∠OMD=90°．
∴∠BME+∠OMB=90°．
∵AB为⊙O的直径．
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°．
∴∠BME=∠AMO．
∵OA=OM．
∴∠MAB=∠AMO．
∴∠BME=∠MAB；

（2）由（1）可得，∠BME=∠MAB．
∵sin∠BAM=(3)/(5)，
∴sin∠BME=(3)/(5)
在Rt△BEM中，BE=(18)/(5)．
∴sin∠BME=(BE)/(BM)=(3)/(5)．
∴BM=6，在Rt△ABM中，sin∠BAM=(3)/(5)．
∴sin∠BAM=(BM)/(AB)=(3)/(5)．
∴AB=(3)/(5)BM=10．
∴⊙O的半径=5