f是本原多项式,证明f(0)^(-1)乘以f*也是本原多项式.（f*为f的互反多项式）

Question

f是本原多项式,证明f(0)^(-1)乘以f*也是本原多项式.（f*为f的互反多项式）

Answer 1

这里的本原多项式是指有限域GF(p^n)的原根的极小多项式?
那么证明很简单.
设f(x)是原根a的极小多项式, 则f(a) = 0.
f(x)的互反多项式f*(x) = x^n·f(1/x), 可知f*(1/a) = f(a)/a^n = 0.
即x = 1/a是f*(x)的根, 从而也是f(0)^(-1)·f*(x)的根.
而由f(x)不可约, 易得f*(x)也不可约 (若f*(x)=g(x)h(x), 则f(x) = g*(x)h*(x)).
于是f(0)^(-1)·f*(x)是一个首1的不可约多项式, 并有根1/a.
即f(0)^(-1)·f*(x)是1/a的极小多项式.
由a为原根, 1/a也为原根 (a^k = 1当且仅当1/a^k = 1).
f(0)^(-1)·f*(x)是原根1/a的极小多项式, 因此也是本原多项式.