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如图,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇,与汽车同时出发,
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如图,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇,与汽车同时出发,要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少须以多大的速度行驶,才能把物品递送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角.


▼优质解答
答案和解析
设快艇从M处以v千米/时的速度出发,沿MN方向航行,
t小时后与汽车相遇
在△MON中,MO=500,ON=100t,MN=vt.
设∠MON=α,
由题意,知sinα=
=
,
则cosα=
.
由余弦定理,知MN2=OM2+ON2-2OM•ONcosα,
即v2t2=5002+1002t2-2×500×100t×
.
整理,得v2=(500×
-80)2+3 600.
当
=
,
即t=
时,vmin2=3 600.
∴vmin=60,
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶,
此时MN=60×
=15×25,MQ=300.
设∠MNO=β,
则sinβ=
=
.
∴cosα=sinβ.
∴α+β=90°,即MN与OM垂直.
快艇行驶的方向与OM所成的角90°.

t小时后与汽车相遇
在△MON中,MO=500,ON=100t,MN=vt.
设∠MON=α,
由题意,知sinα=
QM |
OM |
3 |
5 |
则cosα=
4 |
5 |
由余弦定理,知MN2=OM2+ON2-2OM•ONcosα,
即v2t2=5002+1002t2-2×500×100t×
4 |
5 |
整理,得v2=(500×
1 |
t |
当
1 |
t |
80 |
500 |
即t=
25 |
4 |
∴vmin=60,
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶,
此时MN=60×
25 |
4 |
设∠MNO=β,
则sinβ=
300 |
15×25 |
4 |
5 |
∴cosα=sinβ.
∴α+β=90°,即MN与OM垂直.
快艇行驶的方向与OM所成的角90°.
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