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如图,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇,与汽车同时出发,

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如图,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇,与汽车同时出发,要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少须以多大的速度行驶,才能把物品递送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角.
▼优质解答
答案和解析
设快艇从M处以v千米/时的速度出发,沿MN方向航行,
t小时后与汽车相遇
在△MON中,MO=500,ON=100t,MN=vt.
设∠MON=α,
由题意,知sinα=
QM
OM
3
5

则cosα=
4
5

由余弦定理,知MN2=OM2+ON2-2OM•ONcosα,
即v2t2=5002+1002t2-2×500×100t×
4
5

整理,得v2=(500×
1
t
-80)2+3 600.
1
t
=
80
500

即t=
25
4
时,vmin2=3 600.
∴vmin=60,
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶,
此时MN=60×
25
4
=15×25,MQ=300.
设∠MNO=β,
则sinβ=
300
15×25
=
4
5

∴cosα=sinβ.
∴α+β=90°,即MN与OM垂直.
快艇行驶的方向与OM所成的角90°.
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