无穷多个无穷小的成绩不一定是无穷小,举一个函数的例子

Question

无穷多个无穷小的成绩不一定是无穷小,举一个函数的例子

Answer 1

有个经典的数列例子
1,1/2,1/3,1/4. 1/n.
1 2, 1/3,1/4. 1/n.
1, 1, 3^2,1/4,. 1/n.
1, 1, 1, 4^3.1/n.
.
1, 1, 1, 1,.n^(n-1)..
相乘后为1,函数的例子就是根据这个得到的,给你复制一个吧,太长了,实质是一样的.
定义函数列如下:
1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).
2.f1(x)=1, x∈[1,2)
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
3.n>1,
fn(x)=1, x∈[1,n)
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
4.设F(x)=∏fn(x),
ⅰ.x∈[1,2)
==>fn(x)=1
==>F(x)=∏fn(x)=1
ⅱ.x∈[k,k+1),k>1
fn(x)=1/x,n≤k-1
fk(x)=x^(k-1),
fn(x)=1,k+1≤n
F(x)=∏fn(x)=
=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=
=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=
=1
所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.
但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.
(显然Limfn(x)=0)
所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.
不懂可以追问.