半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，△BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）A.Rarccos1725B.Rarccos1825C.13πRD.415πR

Question

半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，△BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（　　）

A. Rarccos(17)/(25)
B. Rarccos(18)/(25)
C. (1)/(3)πR
D. (4)/(15)πR

Answer 1

由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=(1)/(2)
cos∠BAC=(2√(5))/(5)
连接OM，则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=(4√(5))/(5)R，
同理AN=(4√(5))/(5)R，且MN∥CD
而AC=√(5)R，CD=R
故MN：CD=AM：AC
MN=(4)/(5)R，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=(OM2+ON2−MN2)/(2OM•ON)＝(17)/(25)
所以M、N两点间的球面距离是Rarccos(17)/(25)．
故选A．