某厂生产两种产品，总收入R与两种产品的产量x和y的函数关系是：R（x，y）=100x+150y-x2-2xy-2y2；总成本C与产量x和y的函数关系是C（x，y）=700+20x+50y．（Ⅰ）在产量x和y不受限制的情况下，该厂

Question

某厂生产两种产品，总收入R与两种产品的产量x和y的函数关系是：R（x，y）=100x+150y-x²-2xy-2y²；总成本C与产量x和y的函数关系是C（x，y）=700+20x+50y．
（Ⅰ）在产量x和y不受限制的情况下，该厂应如何确定两种产品的产量，才可获得最大的利润？最大利润是多少？
（Ⅱ）若限于原料供应情况，要求两种产品的总产量固定为30不变时，又应如何安排生产，才可获得最大的利润？这时的最大利润是多少？

Answer 1

（Ⅰ）
∵由题意可知总利润函数Q（x，y）=R（x，y）-C（x，y）=80x+100y-x²-2xy-2y²-700，
∴

Qx′＝80−2x−2y＝0

Q′y＝100−2x−4y＝0

，
解得：

x＝30

y＝10

，
∴在产量x和y不受限制的情况下，该厂生产两种产品的产量分别为

x＝30

y＝10

才可获得最大的利润，
并且最大利润为：Q（x，y）|_{（30，10）}=1000，
∴最大利润是1000．

（Ⅱ）
∵限于原料供应情况，要求两种产品的总产量固定为30不变，
∴x+y=30，
此时可引入拉格朗日函数F（x，y，λ）=Q（x，y）+λ（x+y-30）：
从而：

F′x＝80−2x−2y+λ＝0

F′y＝100−2x−4y+λ＝0

F′λ＝x+y−30＝0

，
解得：

x＝20

y＝10

λ＝−20

，
∴当

x＝20

y＝10

时可获得最大利润，且最大利润为Q_max（x，y）=Q（20，10）=900．