某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为c（x，y）=x2+2y2-xy（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？

Question

某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为c（x，y）=x²+2y²-xy（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？

Answer 1

由题意，即求成本函数c（x，y）在条件x+y=8下的最小值
构造拉格朗日函数   
 F

x，y

＝x2+2y2−xy+λ(x+y−8)
解方程组

F′x＝2x−y+λ＝0

F′y＝−x+4y+λ＝0

F′λ＝x+y−8＝0

解得
λ=-7，x=5，y=3
这唯一的一组解，
而由实际意义知，总成本一定有最小值，因此
λ=-7，x=5，y=3即为所求，
即当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，
最小成本为：
c

5，3

＝52+2×32−5×3＝28（万）