（1）6x2-xy-2y2=56（2）4x2/1+4x2=y5x2-xy-y2=494y2/1+4y2=z4z2/1+4z2=x

Question

（1）6x2-xy-2y2=56 （2）4x2/1+4x2=y
5x2-xy-y2=49 4y2/1+4y2=z
4z2/1+4z2=x

Answer 1

第一个方程组：
∵6x^2－xy－2y^2＝56＝7×8、5x^2－xy－y^2＝49＝7×7,
∴42x^2－7xy－14y^2＝7×7×8、40x^2－8xy－8y^2＝7×7×8,
两式相减,消去常数项,得：2x^2＋xy－6y^2＝0,　∴（2x－3y）（x＋2y）＝0,
∴x＝3y/2,或x＝－2y.
一、将x＝3y/2代入到6x^2－xy－2y^2＝56中,得：6×（3y/2）^2－（3y/2）y－2y^2＝56,
　　∴（54/4）y^2－（9/4）y^2－（8/4）y^2＝56,　∴（37/4）y^2＝56,　∴y^2＝4×56/37,
　　∴y＝4√（14/37）＝（4/37）√518,或y＝－（4/37）√518.
　　由y＝（4/37）√518,得：x＝（6/37）√518.
　　由y＝－（4/37）√518,得：x＝－（6/37）√518.
　　∴原方程组的两组解是：
　　x1＝（6/37）√518、y1＝（4/37）√518；　x2＝－（6/37）√518、y2＝－（4/37）√518.
二、将x＝－2y代入到6x^2－xy－2y^2＝56中,得：6×（－2y）^2＋2y^2－2y^2＝56,
　　∴24y^2＝56,　∴3y^2＝7,　∴y^2＝7/3,　∴y＝（1/3）√7,或y＝－（1/3）√7.
　　由y＝（1/3）√7,得：x＝－（2/3）√7.
　　由y＝－（1/3）√7,得：x＝（2/3）√7.
　　∴原方程组的另两组解是：
　　x3＝－（2/3）√7、y3＝（1/3）√7；　x4＝（2/3）√7、y4＝－（1/3）√7.
综上一、二所述,得原方程组的四组解如下：
x1＝（6/37）√518、y1＝（4/37）√518；　x2＝－（6/37）√518、y2＝－（4/37）√518；
x3＝－（2/3）√7、y3＝（1/3）√7；　　　 x4＝（2/3）√7、y4＝－（1/3）√7.
第二个方程组：请注意括号的正确使用,以免造成误解.
一、显然,由x、y、z中的任意一者为0,都能推出另两者为0,
　　∴x1=0、y1＝0、z1＝0是原方程组的解.
二、当x、y、z都不为0时,容易得出：x、y、z都是正数.
　　由4x^2/（1＋4x^2）＝y,得：2x/［2x＋1/（2x）］＝y,　∴2x＋1/（2x）＝2x/y.······①
　　由4y^2/（1＋4y^2）＝z,得：2y/［2y＋1/（2y）］＝z,　∴2y＋1/（2y）＝2y/z.······②
　　由4z^2/（1＋4z^2）＝x,得：2z/［2z＋1/（2z）］＝x,　∴2z＋1/（2z）＝2z/x.······③
　　①×②×③,得：［2x＋1/（2x）］［2y＋1/（2y）］［2z＋1/（2z）］＝8.······④
　　由基本不等式,有：2x＋1/（2x）≧2、2y＋1/（2y）≧2、2z＋1/（2z）≧2,
　　∴［2x＋1/（2x）］［2y＋1/（2y）］［2z＋1/（2z）］≧8.······⑤
　　由④、⑤,得：2x＋1/（2x）≧2、2y＋1/（2y）≧2、2z＋1/（2z）≧2中只能取等号,
　　∴需要2x＝1/（2x）、2y＝1/（2y）、2z＝1/（2z）,∴x＝y＝z＝1/2.
　　∴原方程组的另一组解是：x2＝1/2、y2＝1/2、z2＝1/2.
综上一、二所述,得原方程组的两组解是：
x1=0、y1＝0、z1＝0；　x2＝1/2、y2＝1/2、z2＝1/2.