某工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为5万，已知生产100件这样的产品需要再增加可变成本（另增加投入）2.5万元，根据市场调研分析，销售的收入为g（x）=50x-5x2（万元），（0≤x≤

Question

某工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为5万，已知生产100件这样的产品需要再增加可变成本（另增加投入）2.5万元，根据市场调研分析，销售的收入为g（x）=50x-5x²（万元），（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百件）．假设此种产品的需要求量最多为500件，设该工厂年利润为y万元．
（1）将年利润表示为年产量的函数；
（2）求年利润的最大值．

Answer 1

（1）设年产量为x百件，当0≤x≤5时，产品全部售出
∴y=（50x-5x²）-（5+2.5x）=-5x²+47.5x-5
当x＞5时，产品只能售出500件
∴y=（50×5-5×5²）-（5+2.5x）=-2.5x+120
∴y=

−5x2+47.5x−5，0≤x≤5

−2.5x+120，x＞5

；
（2）当0≤x≤5时，y=-5x²+47.5x-5，∴x=4.75时，y_max=107.8125
当x＞5时，y＜107.5
故当年产量为475件时取得最大利润，且最大利润为107.8125元，最佳生产计划475件．