求证:k^5-5k^3+4k一定能被120整除

Question

求证:k^5-5k^3+4k一定能被120整除

Answer 1

k^5-5k^3+4k =k(k^4-5k^2+4) =k(k^2-1)(k^2-4) =k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2) =(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2) 为5个连续自然数的乘积 5个连续自然数中,至少有1个能被3整除 至少有1个能被5整除 至少有1个能被4整除 除了能被4整除的这个,还至少有一个能被2整除 3×5×4×2=120 所以5个连续的自然数相乘,一定能被120整除 所以k为正整数时,k^5-5k^3+4k一定能被120整除