能将任意8个连续的正整数分为两组,使得每组4个数的平方和相等吗?如果能,请给出一种分组法,并加以验证,如果不能,请说明理由.

Question

能将任意8个连续的正整数分为两组,使得每组4个数的平方和相等吗?如果能,请给出一种分组法,并加以验证,如果不能,请说明理由.

Answer 1

能分组.
答：设这8个连续的正整数依次为：n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7,它们的平方分别是：
n^2,n^2+2n+1,n^2+4n+4,n^2+6n+9,n^2+8n+16,n^2+10n+25,n^2+12n+36,n^2+14n+49,
上面的8个平方数分成两组,每组4个数,而n^2共有8个,刚好可以分组.所以只需考虑一次项和常数项的分组.
先看一次项的分组,有7个：2n,4n,6n,8n,10n,12n,14n.它们的和是56n,所以分成两组,一组有3个,另一组有4个.二者的和都等于56n/2=28n.
有以下几种分组：
分组一：(14n、12n、2n),(4n、6n、8n、10n)；
对应的常数是：49+36+1=86,4+9+16+25=54,不相等,分组不成立；
分组二：(14n、10n、4n),(2n、6n、8n、12n)；
对应的常数是：49+25+4=78,1+9+16+36=62,不相等,分组不成立；
分组三：(14n、8n、6n),(2n、4n、10n、12n)；
对应的常数是：49+16+9=74,1+4+25+36=66,不相等,分组不成立；
分组四：(12n、10n、6n),(2n、4n、8n、14n)；
对应的常数是：36+25+9=70,1+4+16+49=70,相等,分组成立；
所以,能将任意8个连续的正整数分为两组,使得每组4个数的平方和相等.分组方法如下：
n、n+3、n+5、n+6与n+1、n+2、n+4、n+7.