平面上任取N个整点,要使其中总存在两点,其联线的中点是整点,则N的最小值:

Question

平面上任取N个整点,要使其中总存在两点,其联线的中点是整点,则N的最小值:

Answer 1

建立直角坐标系来解决这个问题
设所取得n个点的坐标为
（X1,Y1）,（X2,Y2）,……,（Xn,Yn）
1）当有三个点时
显然,三个点可以保证存在两个点使其中点的横坐标为整数
（这是因为任意三个数肯定存在同奇或同偶两个数）
但是不能保证这两个点中点的纵坐标也是偶数
比如取（奇,偶）,（奇,奇）,（偶,奇）这三个点就是一个反例
2）当有四个点时
接着用上面的方法进行分析,可知,如下情况是一个反例
（其中“奇”代表奇数；“偶”代表“偶数”）
（奇,奇）,（奇,偶）,（偶,奇）,（偶,偶）
3）当有五个点时
当有五个点时,至少存在三个点,其横坐标同奇或同偶,而这三个点中,至少存在两个点是同奇或同偶的,那么可以判定,这两个点的横纵坐标的奇偶性完全一样,因此这两个点的中点是个整点
综上所述,平面上任取五个整点,可以保证其中存在两个点,其中点为整点