如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD⊥AC，EM=22，OD+CD=7，求△OCB的面积．

Question

如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，EM=2√(2)，OD+CD=7，求△OCB的面积．

Answer 1

（1）证明：连接ED、MN，
∵CE、BD是△ABC的中线，
∴E、D是AB、AC中点，
∴ED∥BC，ED=(1)/(2)BC，
∵M、N分别为OB、OC的中点，
∴MN∥BC，MN=(1)/(2)BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴MD和NE互相平分；

（2）由（1）可得DN=EM=2√(2)，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∵N是OC的中点，
∴OC=2DN=4√(2)（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∵OD²+CD²=OC²=32，
（OD+CD）²=OD²+CD²+2OD×CD=7²=49，
2OD×CD=49-32=17，
OD×CD=8.5，
∵OB=2OM=2OD，
∴S_△OCB=(1)/(2)OB×CD=OD×CD=8.5．