（2014•山东）如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

Question

（2014•山东）如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=(1)/(2)AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接CE，则
∵AD∥BC，BC=(1)/(2)AD，E为线段AD的中点，
∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，
∵F为线段PC的中点，
∴PA∥OF，
∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，
∴AP∥平面BEF；
（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴四边形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，
∵AP∩AC=A，
∴BE⊥平面PAC．