如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：（1）MN∥AD1；（2）M是AB的中点．

Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AB上一点，N是A₁C的中点，MN⊥平面A₁DC，求证：

（1）MN∥AD₁；
（2）M是AB的中点．

Answer 1

证明：（1）连接AC，BD，设交点为O，连接ON，OM，
∵MN⊥平面A₁DC，CD⊂平面A₁DC，
∴MN⊥CD，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N是A₁C的中点，O是AC的中点，
∴NO⊥CD，
∵MN∩NO=N，
∴CD⊥平面MNO，
∴CD⊥OM，CD∥AB
∴AB⊥OM，
∴OM∥AD，
又∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N是A₁C的中点，
∴N在BD₁上，且为中点，
∴△AD₁B中，MN∥AD₁；
（2）∵由（1）可知，N是BD₁的中点，MN∥AD₁；
∴M是AB的中点．