一小球垂直落入水中,其质量为,体积为,小球所受到的阻力与下沉的速度成正比,设小球的初始速度为零,求小球下沉深度与速度之间的关系式．

Question

一小球垂直落入水中,其质量为 ,体积为 ,小球所受到的阻力与下沉的速度成正比,设小球的初始速度为零,求小球下沉深度与速度之间的关系式．

Answer 1

题目的符号没有打出来.
我自己确定符号吧：小球质量是 m,体积为U,初速为0（在水面处）.
阻力设为 f ,则　f ＝K*V　（V是小于下沉的速度,K是比例系数）
由牛二　知　mg－f ＝ma
a＝dV / dt
得　mg－K*V＝m* dV / dt
m*dV / ( mg－K*V )＝dt
(－m / K)* d ( mg－K*V ) / ( mg－K*V )＝dt
两边积分　得　
(－m / K)*ln ( mg－K*V )＝t＋C1　　,C1是积分常数
由初始条件：t＝0时,V＝0,得　C1＝(－m / K)*ln ( mg )
所以　(－m / K)*ln ( mg－K*V )＝t＋(－m / K)*ln ( mg )
V＝（mg / K）*[ 1－e^(-K t / m) ]　　－－－方程1　（这是在 t 时刻的速度V的表达式）　
设下沉的深度是 X ,则
X＝∫ V dt
＝∫ { （mg / K）*[ 1－e^(-K t / m) ] } dt
＝（mg / K）*[ t ＋(m / K) *e^(-K t / m) ] ＋C2　　,C2是积分常数
由初始条件：t＝0时,X＝0　得　C2＝－(m / K)^2*g
得　X＝（mg / K）*[ t ＋(m / K) *e^(-K t / m) ]－(m / K)^2*g　－－－方程2
由方程1　得　t＝（m / K）*ln [ mg / ( mg－K*V ) ]
所以　X＝（mg / K）*｛（m / K）*ln [ mg / ( mg－K*V ) ]＋(m / K) *[ 1－KV / (mg) ] }－(m / K)^2*g
整理后　得　X＝（m / K）* 《 { (mg / K)*ln [ mg / ( mg－K*V ) ] }－V 》
上式就是所求的小球下沉深度与速度之间的关系式．