在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；（Ⅱ）求证：ME+NF=EF．

Question

在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．

（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；
（Ⅱ）求证：ME+NF=EF．

Answer 1

（1） 如图1，过N作NG⊥AB于G，
∴四边形AGND是矩形，
∴NG=AD，
∴AB=AD=GN，
∵AP⊥MN，
∴∠AEM=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABP与△NGM中，

∠1=∠2

AB=NG

∠ABP=∠NGM

，
∴△ABP≌△NGM，
∴MN=AP，
在R_t△ABP中，AB=9，BP=3，
∴AP=√(AB2+PB2)=3√(10)，
∴MN=3√(10)．
（2）证明：如图2，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，
∵MN垂直平分AP，
∴AE=PE，AF=PF，
∵PH∥AB，
∴∠MAE=∠HPE，
在△AME与△PHE中，

∠MAE=∠HPE

AE=PE

∠AEM=∠PEH

，
∴△AME≌△PHE，
∴ME=HE，
∵∠TDF=∠FBP=45°，
∴TD=TF，FS=BS，
∵四边形ABST是矩形，
∴BS=AT，
∴FS=AT，
在R_t△FPS与R_t△ATF中

AT=FS

AF=PF

，
∴R_t△FPS≌R_t△ATF，
∴PS=TF，
∴PS=TD，
∵四边形TSCD是矩形，
∴TD=SC，
∴PS=SC，
∵PH∥TS∥CD，
∴HF=FN，
∴ME+NF=EF．