如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．（1）求证：AB=AD+BC；（2）若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积．

Question

如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．

（1）求证：AB=AD+BC；
（2）若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，

∠3＝∠4

BE＝BE

∠AEB＝∠MEB

∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，

∠1＝∠M

AE＝ME

∠5＝∠6

；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．
（2）由（1）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=4，BE=3，
∴S△ABM＝(1)/(2)×8×3＝12，
∴S_{四边形ABCD}=12．